Lineare Algebra Beispiele

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{3}$ auf $ℝ^{1}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $S$ zu testen.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 6

Stelle $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ um.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 7

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 8

Die Additionseigenschaft der Transformation gilt.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Schritt 9

Damit eine Transformation linear ist, muss die skalare Multiplikation bei der Transformation erhalten bleiben.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

Schritt 10

Faktorisiere die $p$ aus jedem Element.

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Schritt 10.1

Multipliziere $p$ mit jedem Element in der Matrix.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

Schritt 10.2

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Schritt 10.3

Stelle $p x + p y + p z$ um.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Schritt 10.4

Faktorisiere Element $0, 0$ , indem du $p x + p y + p z$ multiplizierst.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

Schritt 11

Die zweite Eigenschaft einer linearen Transformation bleibt bei dieser Transformation erhalten.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

Schritt 12

Damit die Transformation linear ist, muss der Nullvektor erhalten bleiben.

$S (0) = 0$

Schritt 13

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 14

Stelle $0 + 0 + 0$ um.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Schritt 15

Der Nullvektor bleibt bei der Transformation erhalten.

$S (0) = 0$

Schritt 16

Da alle drei Eigenschaften linearer Transformationen nicht gegeben sind, ist dies keine lineare Transformation.

Lineare Transformation